1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.
2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(“線線平行，線面平行”)
[注]：①直線 與平面 內一條直線平行，則 ∥ . (×)(平面外一條直線)
②直線 與平面 內一條直線相交，則 與平面 相交. (×)(平面上一條直線)
③若直線 與平面 平行，則 平面內必存在無數(shù)條直線與已知直線平行. (√)(不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之)
④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. (×)(可能在此平面內)
⑤平行于同一直線的兩個平面平行.(×)(兩個平面可能相交)
⑥平行于同一個平面的兩直線平行.(×)(兩直線可能相交或者異面) ⑦直線 與平面 、 所成角相等，則 ∥ .(×)( 、 可能相交)
3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.(“線面平行，線線平行”)
4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
若 ⊥ ， ⊥ ，得 ⊥ (三垂線定理)，
得不出 ⊥ . 因為 ⊥ ，但 不垂直O(jiān)A.
三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.(“線線垂直，線面垂直”)
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.
[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面平行)
②垂直于同一直線的兩個平面平行.(√)(一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面)
③垂直于同一平面的兩條直線平行.(√)
5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長;②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長;③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內的射影是一條直線.(×)]
⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上
四、 平面平行與平面垂直.
1. 空間兩個平面的位置關系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.(“線面平行，面面平行”)
推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行;平行于同一平面的兩個平面平行.
[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.
3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.(“面面平行，線線平行”)
4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.(“線面垂直，面面垂直”)
注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.
5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.
證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于 ，
因為 則 .
6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式： ( 為銳角取加， 為鈍取減，綜上，都取加則必有 )
7. ⑴最小角定理： ( 為最小角，如圖)
⑵最小角定理的應用(∠PBN為最小角)
簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條. 成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 五、 棱錐、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱側面積： ( 為底面周長， 是高)該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的.
②斜棱住側面積： ( 是斜棱柱直截面周長， 是斜棱柱的側棱長)該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.
⑵{四棱柱} {平行六面體} {直平行六面體} {長方體} {正四棱柱} {正方體}.
{直四棱柱} {平行六面體}={直平行六面體}.
⑶棱柱具有的性質：
①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等;直棱柱的各個側面都是矩形;正棱柱的各個側面都是全等的矩形.
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.
注：①棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. (×) (直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)
②(直棱柱定義)棱柱有一條側棱和底面垂直.
⑷平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.
[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為 ，則 . 推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為 ，則 .
[注]：①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形)
②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(應是各側面都是正方形的直棱柱才行)
③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.(×)(只能推出對角線相等，推不出底面為矩形)
④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直. (兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件)
2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.
[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.
②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐;所以 .
⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形;頂點在底面的射影為底面的中心.
[注]：i. 正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角
形(即側棱相等);底面為正多邊形.
②正棱錐的側面積： (底面周長為 ，斜高為 )
③棱錐的側面積與底面積的射影公式： (側面與底面成的二面角為 ) 附： 以知 ⊥ ， ， 為二面角 .
則 ①， ②， ③ ①②③得 .
注：S為任意多邊形的面積(可分別多個三角形的方法). ⑵棱錐具有的性質：
①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).
②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形. ⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：
①棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
⑥三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂
心.
⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑;
⑧每個四面體都有內切球，球心 是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.
[注]：i. 各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個側面的等腰三角形不知是否全等)
ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得 ，已知
則 .
iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結各邊的中點的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結各邊的中點的四邊是一定是正方形.
簡證：取AC中點 ，則 平面 90°易知EFGH為平行四邊形 EFGH為長方形.若對角線等，則 為正方形.
3. 球：⑴球的截面是一個圓面.
①球的表面積公式： .
②球的體積公式： .
⑵緯度、經度：
①緯度：地球上一點 的緯度是指經過 點的球半徑與赤道面所成的角
的度數(shù).
②經度：地球上 兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當經過點 的經線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是 點的經度.
附：①圓柱體積： ( 為半徑， 為高)
②圓錐體積： ( 為半徑， 為高)
③錐形體積： ( 為底面積， 為高)
4. ①內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a， ， ， 得 .
注：球內切于四面體：
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關系式.
六. 空間向量.
1. (1)共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：①若 與 共線， 與 共線，則 與 共線.(×) [當 時，不成立]
②向量 共面即它們所在直線共面.(×) [可能異面]
③若 ∥ ，則存在小任一實數(shù) ，使 .(×)[與 不成立] ④若 為非零向量，則 .(√)[這里用到 之積仍為向量]
(2)共線向量定理：對空間任意兩個向量 ， ∥ 的充要條件是存在實數(shù) (具有唯一性)，使 .
(3)共面向量：若向量 使之平行于平面 或 在 內，則 與 的關系
是平行，記作 ∥ .
(4)①共面向量定理：如果兩個向量 不共線，則向量 與向量 共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y使 .
②空間任一點O和不共線三點A、B、C，則 是PABC四點共面的充要條件.(簡證： P、A、B、C四點共面)
注：①②是證明四點共面的常用方法.
2. 空間向量基本定理：如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序實數(shù)組x、y、z，使 .
推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序實數(shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).
注：設四面體ABCD的三條棱， 其
中Q是△BCD的重心，則向量 用 即證.
3. (1)空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸(對應為橫坐標)，y軸是縱軸(對應為縱軸)，z軸是豎軸(對應為豎坐標). ①令 =(a1,a2,a3), ，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉化： )
②空間兩點的距離公式： .
(2)法向量：若向量 所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面 ，記作 ，如果 那么向量 叫做平面 的法向量.
(3)用向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面 的法向量，
AB是平面 的一條射線，其中 ，則點B到平面 的距離為 .
②利用法向量求二面角的平面角定理：設 分別是二面角 中平面 的法向量，則 所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小( 方向相同，則為補角， 反方，則為其夾角).
③證直線和平面平行定理：已知直線 平面 ， ，且CDE三點不共線，則a∥ 的充要條件是存在有序實數(shù)對 使 .(常設 求解 若 存在即證畢，若 不存在，則直線AB與平面相交).